Estatística básica – Aula 2: O operador somatório

Postado em 25/03/2020 por Gleydson Fernandes

Cursos, Estatística

Uma operação fundamental da estatística é a soma. Em geral, coletamos uma grande quantidade de dados separadamente, e em algum momento precisamos somar esses dados para extrair informação útil a partir deles.

Entretanto, a escrever uma grande quantidade de termos, termo a termo, é bastante trabalhoso, e precisamos de alguma forma condensar a soma de vários elementos em uma escrita simples, o que fazemos através do operador somatório, representado pela letra grega $\sum$ – pronuncia-se sigma.

Com esse operador, a soma de n elementos {$ X_1, X_2, …, X_n $}, escrita como $X_1 + X_2 + … + X_n$ pode agora ser escrita, através do operador somatório, como $\sum^{n}_{i=1} X_i$, lido como “somatório de $X_i$, com i variando de 1 a n”.

As propriedades desse operador são bastante úteis na hora de se trabalhar com dados, são elas:

Propriedade 1: O somatório da constante é n vezes a constante

$\sum^{n}_{i=1} c = nc$

Demonstração:

$\sum^{n}_{i=1} c = \underbrace{c + c + c + … + c}_{n\ vezes} = nc$

Propriedade 2: Se, para cada observação de um conjunto for adicionado ou subtraído uma constante c, então seu somatório é dado por:

$\sum^{n}_{i=1} (X_i \pm c) = \sum^{n}_{i=1} X_i \pm nc$

Demonstração:

$\sum^{n}_{i=1} (X_i + c) = (X_1 + c) + (X_2 + c) + (X_3 + c) + … + (Xn + c)$

$= X_1 + c + X_2 + c + … + X_n + c$

$= X_1 + X_2 + … + X_n + \underbrace{c + c + … + c}_{n\ vezes}$

$= \sum^{n}_{i=1} X_i \pm nc$

Propriedade 3: Se uma constante multiplica todos os termos dentro do somatório, ela multiplica o próprio somatório:

$\sum^{n}_{i=1} cX_i = c\sum^{n}_{i=1} X_i$

Demonstração:

$\sum^{n}_{i=1} cX_i = cX_1 + cX_2 + … + cX_n$

$= c(X_1 + X_2 + … + Xn)$

$= c\sum^{n}_{i=1} X_i $

Propriedade 4: Sejam duas constantes arbitrárias a e b:

$\sum^{n}_{i} (a \pm bX_i) = na \pm b\sum^{n}_{i} X_i$

Demonstração: Direta das propriedades anteriores.

Propriedade 5: Sejam $X_i$ e $Y_i$ duas variáveis distintas, o somatório da soma das variáveis é igual à soma dos seus somatórios:

$\sum^{n}_{i} (X_i \pm Y_i) = \sum^{n}_{i} X_i \pm \sum^{n}_{i} Y_i$

Demonstração:

$\sum^{n}_{i} (X_i \pm Y_i) = (X_1 + Y_1) + (X_2 + Y_2) + … + (X_n + Y_n)$

$= X_1 + Y_1 + X_2 + Y_2 + … + X_n + Y_n$

$= X_1 + X_2 + … + X_n + Y_1 + Y_2 + … + Y_n$

$=\sum^{n}_{i} X_i \pm \sum^{n}_{i} Y_i$

Propriedade 6: O somatório do produto das variáveis é diferente do produto dos somatórios das variáveis:

$\sum^{n}_{i} X_{i}Y_i \neq \sum^{n}_{i} X_{i} \sum^{n}_{i}Y_{i}$

Demonstração:

$X_{1}Y_{1} + X_{2}Y _{2} + … + X _{n} Y _{n} < (X _{1} + X _{2} + … + X _{n}) (Y _{1} + Y _{2} + … + Y _{n})$

É imediato que:

$\sum^{n}_{i} X_{i}Y_i \neq \sum^{n}_{i} X_{i} \sum^{n}_{i}Y_{i}$

Em resumo, temos:

Propriedade 1: O somatório da constante é n vezes a constante

$\sum^{n}_{i=1} c = nc$

Propriedade 2: Se, para cada observação de um conjunto for adicionado ou subtraído uma constante c, então seu somatório é dado por:

$\sum^{n}_{i=1} (X_i \pm c) = \sum^{n}_{i=1} X_i \pm nc$

Propriedade 3: Se uma constante multiplica todos os termos dentro do somatório, ela multiplica o próprio somatório:

$\sum^{n}_{i=1} cX_i = c\sum^{n}_{i=1} X_i$

Propriedade 4: Sejam duas constantes arbitrárias a e b:

$\sum^{n}_{i} (a \pm bX_i) = na \pm b\sum^{n}_{i} X_i$

Propriedade 5: Sejam $X_i$ e $Y_i$ duas variáveis distintas, o somatório da soma das variáveis é igual à soma dos seus somatórios:

$\sum^{n}_{i} (X_i \pm Y_i) = \sum^{n}_{i} X_i \pm \sum^{n}_{i} Y_i$

Propriedade 6: O somatório do produto das variáveis é diferente do produto dos somatórios das variáveis:

$\sum^{n}_{i} X_{i}Y_i \neq \sum^{n}_{i} X_{i} \sum^{n}_{i}Y_{i}$

Para visualizar as fontes e outras informações sobre o curso, siga para a publicação inicial da série.

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