Uma Introdução Intuitiva sobre Teoria de Grupos

Postado em 30/05/2018 por Gustavo Petronilo

Cursos, Teoria de Grupos

Nesse post iremos abordar de uma forma bastante intuitiva a ideia de grupos, suas principais definições e propriedades. Após uma abordagem sucinta iremos mostrar um exemplo de grupo. O único pré-requisisto para esse post é um conhecimento prévio sobre conjuntos e as operações básicas.

Um Pouco Sobre Teoria de Grupos

Teoria de Grupos é muito usada em diversas áreas da física via teoria de representações (que não será abordada aqui), mostraremos a ideia de grupo de uma forma fundamental e simples que muitos de vocês irão se perguntar porque algo assim fica relegado a uns curiosos e aspirantes da área dentro das universidades.
Dado um conjunto \(G\) e uma operação qualquer que denotaremos por, “\(*\)”, o sistema {\(G,*\)} é chamado de grupo se

. Se \(a\in G\) e \(b\in G\), então \(a*b=c \in G\), Propriedade de Fechamento;

. \((a*b)*c=a*(b*c)\), Associatividade;

. \(\exists\) um elemento \(\epsilon \in G\) tal que \(\forall a \in G\), \(\epsilon*a=a\), Elemento Neutro;

. \(\forall a \in G\) \(\exists\) um único elemento \(a^{-1}\), tal que \(a*a^{-1}=\epsilon\),Elemento Inverso.

*Notem que \(a^{-1}\) é a notação de inverso, não que o elemento esteja elevado a menos um.

Esses elementos não precisam, necessariamente serem números como veremos posteriormente.

Alguns Exemplos de Grupos

Se o grupo for comutativo, isto é, \(a*b=b*a\) o grupo é chamado de Abeliano.

Um subgrupo de \(G\) é um subconjunto \(S\) de \(G\) que também é um grupo sobre a mesma operação.
Um grupo fácil de se ver é o conjunto dos inteiros sobre a adição.

Exemplo

\(5+3=8\) Fechamento

\((5+2)+1=5+(2+1)\) Associativo

\(0\) é o elemento neutro

e se \(a=5;\qquad a^{-1}=-5\)

Portanto a soma e subtração no conjuto dos inteiros são partes da mesma operação, a adição. Onde a soma é a adição de números positivos e a subtração entre um numero negativo e um positivo. Claramente esse grupo é abeliano.

\(5+2=2+5\).

Este exemplo é um de muitos sobre grupos. Porém não é um exemplo muito visual e não mostra uma das grandes importâncias do estudo sobre grupos, que é simetrias e propriedade de transformações. Por isso em um post posterior veremos esse grupo sobre a perspectiva de translações, veremos também outros grupos de formas bem visuais para entendermos a beleza dessa área.

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